Nous avons vu que dans la relativité restreinte deux observateurs en translation rectiligne uniforme ont leur repère d’espace-temps tourné d’un certain angle. En fait chaque point d’un repère est tourné du même angle par rapport à un autre repère.
Le principe de la relativité restreinte exprimé en d’autres termes est : dans une rotation globale de l’espace-temps, les lois de la physique sont invariantes.
Pour un mouvement accéléré, la vitesse varie en fonction du point. Deux observateurs en mouvement accéléré ont leur repère d’espace-temps tourné d’un certain angle qui dépend du point de l’espace-temps.
Einstein a postulé que les lois de la physique restent également invariantes dans ce cas i.e. dans le cas d‘une rotation quelconque dépend du point dans l’espace-temps.
Fort de cette idée, Einstein a donc imaginé un rayon de lumière vu par un observateur en chute libre.
Dans la figure ci-dessous, l’ascenseur est lâché quand le photon est émis horizontalement en A, et la trajectoire est une droite dans le référentiel de l’ascenseur (a). Comme le point d’arrivée B du photon sur la paroi de l’ascenseur ne dépend pas du référentiel, cela veut dire que dans le référentiel de la terre (b) sa trajectoire est courbée : la lumière est donc sensible a un champ de gravitation dans le référentiel de la terre.
Dans un champ de gravitation la lumière doit voyager sur une trajectoire courbe. Or les lois de la physique étant invariantes [gravitation (b) ou pas gravitation (a)], ce n’est pas la trajectoire intrinsèque de la lumière qui est courbe mais l’espace-temps !
Les équations de la relativité restreinte sont bien invariantes par rotation d’un angle constant dans l’espace-temps. Mais pour qu’elles respectent le principe d’équivalence, il faut modifier ces équations afin qu’elles soient invariantes dans un espace-temps courbe. En effet, pour connaître comment varie un vecteur, il ne suffit pas de savoir comment varient uniquement ses composantes, il faut également voir comment varient les vecteurs bases de l’espace. Ce qui nécessite des termes supplémentaires.
En partant de l’hypothèse comme quoi les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels, accélérés ou non, et du postulat du principe d’équivalence, Einstein aboutit à une équation sur la distribution de l’énergie et de la matière qui nous dit que la distribution de matière pilote la courbure de l’espace-temps. La matière dit à l’espace comment se courber, et l’espace dit à la matière comment se mouvoir.